Teroema de Pitágoras

Origem: http://www.educ.fc.ul.pt

Teorema de Pitágoras

Conta a lenda que Pitágoras, ao olhar para o chão onde apareciam desenhos verificou, por composição e decomposição de figuras, uma propriedade de todos os triângulos rectângulos:

A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa (lado oposto ao ângulo recto) de um triângulo rectângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (os outros dois lados).


Desta relação surgiu o Teorema de Pitágoras tal como o conhecemos hoje:

Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.


Actualmente, são conhecidas várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Aquela que se pensa ter sido a demonstração original (ou uma delas) é a seguinte:







Temos dois quadrados iguais de lado a+b.

Todos os triângulos rectângulos marcados em ambos os quadrados são iguais (a e b são os seus catetos e c a hipotenusa).

O primeiro quadrado é formado por quatro triângulos e por um quadrado de lado c, pelo que a sua área é

c2 + 4(ab/2) = c2 + 2ab.

O segundo quadrado é formado por dois quadrados de lados a e b e por quatro triângulos. Logo, a sua área é dada por

a2 + b2 + 4(ab/2) = a2 + b2 + 2ab.

Igualando ambas as expressões, temos

c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab

ou seja, a2 + b2 = c2.

2ª Fonte
Origem: Wikipédia

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que:





Passos históricos

Durante séculos, os matemáticos questionaram: "Qual a demonstração feita por Pitágoras?". Hoje, parece não existir mais dúvidas de que Pitágoras teria seguido os seguintes passos:
Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o nome.

1. Desenha-se um quadrado de lado a + b;
2. Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
3. Divide-se cada um destes dois rectângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se C o comprimento de cada diagonal;
4. A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a a2 + b2;
5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado a + b, mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.

Assim, a área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a: c2

Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que: a2 + b2 = c2, ou seja, num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual á soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida a e b foram chamados de catetos.

Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema mas nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era válido para qualquer triângulo retângulo.

Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos, foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolução tem como base este famoso teorema.

Algumas demonstrações do teorema adequadas à nossa época

Por semelhança de triângulos







Da figura e substituindo pelas equações (1) e (2):



Multiplicando tudo por c:



Comparando áreas

Aplicações do teorema

O teorema de Pitágoras pode ser aplicado em diversas figuras:

Quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e d a diagonal, podemos definir que:





Triângulo equilátero


A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes; sendo l o lado e h a altura, podemos definir que:











Generalizações

* O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo rectângulo conhecendo os outros dois. O teorema dos cossenos permite calculá-lo num triângulo qualquer.

* O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex rectângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro rectângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

Pitágoras dizia que"em todo triângulo retângulo, a soma das áreas dois quadrados dos catetos é igual à área dos quadrados da hipotenusa".

O teorema de Pitágoras na geometria esférica e hiperbólica

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O Teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:

* na geometria esférica, tem-se



* na geometria hiperbólica tem-se